Der waagerechte Wurf – Wurfweite, Wurfdauer und Bahnform

Der waagerechte Wurf – Wurfweite, Wurfdauer und Bahnform Übung

• Gib an, welche Aussagen zum waagerechten Wurf richtig sind.

  Tipps

  Hier siehst du noch einmal, wie die Wurfparabel im Koordinatensystem liegt.

  Der Auftreffpunkt befindet sich auf der $x$-Achse, da sich die $x$-Achse auf dem Boden befindet.

  Die $y$-Koordinate beschreibt die Höhe des Wurfkörpers.

  Lösung

  Der waagerechten Wurf ist eine zusammengesetzte Bewegung:

  • $y$-Richtung: geradlinig, gleichmäßig beschleunigte Bewegung (nach unten)
  • $x$-Richtung: geradlinig gleichförmige Bewegung

  Um die Bewegung zu beschreiben, legen wir ein Koordinatensystem fest: Die $x$-Achse befindet sich auf dem Boden. Der Abwurfpunkt befindet sich auf der $y$-Achse.

  
  

  Die $y$-Koordinate ist beim Abwurfpunkt maximal.
  Diese Aussage ist richtig. Da es sich bei der Wurfbewegung um eine Überlagerung einer Bewegung nach unten und einer Seitwärts-Bewegung handelt, wird sich das Objekt nie höher als zu Beginn des Wurfes befinden.

  Die $y$-Koordinate ist bei der gesamten Bewegung positiv.
  Diese Aussage ist richtig. Da wir festgelegt haben, dass sich die $x$-Achse auf dem Boden befindet, kann die $y$-Koordinate keine negativen Werte annehmen. Das Wurfobjekt befindet sich immer oberhalb des Bodens oder auf dem Boden.

  Die Anfangsgeschwindigkeit in $x$-Richtung ist gleich Null.
  Diese Aussage ist falsch. Wäre die Anfangsgeschwindigkeit in $x$-Richtung gleich Null, so würde das Wurfobjekt nur nach unten fallen. Es handelt sich in dem Fall also nicht um einen Wurf, sondern um einen freien Fall. Bei der Geschwindigkeit in $x$-Richtung handelt es sich um einen konstanten Wert $v_x$, da in $x$-Richtung eine gleichförmige Bewegung stattfindet.

  Beim Auftreffpunkt ist die $x$-Koordinate maximal:
  Diese Aussage ist richtig. Wir haben festgelegt, dass sich der Abwurfpunkt auf der $y$-Achse befindet. Die $x$-Koordinate der Wurfparabel ist daher immer positiv und am Auftreffpunkt maximal.

• Gib die richtigen Gleichungen an.

  Tipps

  Im Wurfkontext gilt:

  • $a$: Fallbeschleunigung
  • $t$: Zeit
  • $v_{y,0}$: Anfangsgeschwindigkeit in $y$-Richtung ist hier $0$
  • $y_0$: Anfangsabstand vom Boden ist hier gleich der Höhe $h$

  In der Gleichung für die Wurfparabel kommt die Zeit $t$ nicht mehr vor.

  Lösung

  Beim waagerechten Wurf handelt es sich um eine Überlagerung von zwei Bewegungen: Das Wurfobjekt fliegt geradeaus und fällt gleichzeitig nach unten.

  Wir teilen die zusammengesetzte Bewegung also auf in:

  • $y$-Richtung: geradlinig, gleichmäßig beschleunigte Bewegung (nach unten)
  • $x$-Richtung: geradlinig gleichförmige Bewegung

  $\,$

  Für die geradlinig, gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt die allgemeine Bewegungsgleichung:

  $y(t) = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + v_{y,0} \cdot t + y_0$

  mit:

  • $a$: Beschleunigung
  • $t$: Zeit
  • $v_{y,0}$: Anfangsgeschwindigkeit in $y$-Richtung
  • $y_0$: Anfangsabstand vom Boden

  Bei der Beschleunigung handelt es sich um die Fallbeschleunigung $-g$. Die Anfangsgeschwindigkeit in $y$-Richtung ist $0$. Der Anfangsabstand $y_0$ ist die Abwurfhöhe $h$. Wir setzen also ein:

  • $a=-g$
  • $v_{y,0} = 0$
  • $y_0 = h$

  und erhalten somit als Formel für die Höhe beim waagerechten Wurf:

  $y(t) = h - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$

  $\,$

  Für die geradlinig gleichförmige Bewegung gilt die allgemeine Bewegungsgleichung:

  $x(t) = v_x \cdot t + x_0$

  mit:

  • $v_x$: konstante Geschwindigkeit in $x$-Richtung
  • $x_0$: Anfangsabstand in $x$-Richtung

  Dabei ist

  • $v_x = v_0$
  • $x_0=0$

  Somit ergibt sich als Formel für den Abstand des Wurfkörpers vom Abwurfpunkt in $x$-Richtung:

  $x(t) = v_0 \cdot t$

  $\,$

  Wir haben also die beiden Gleichungen:

  • $y = h - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$
  • $x= v_0 \cdot t$

  Um die Gleichung für die Wurfparabel zu erhalten, lösen wir die zweite Gleichung nach $t$ auf:

  $t = \dfrac{x}{v_0}$

  und setzen dies in die erste Gleichung ein:

  $y = h - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot \left(\dfrac{x}{v_0}\right)^2$

  zusammengefasst ergibt sich damit Gleichung für die Wurfparabel:

  $y = - \dfrac{g}{2v_0^2} \cdot x^2 + h$

  Wir erkennen, dass es sich um eine Parabel handeln muss, welche aufgrund des negativen Vorfaktors nach unten geöffnet ist und um $h$ Einheiten nach oben verschoben ist.

• Bestimme die Wurfweite und die Wurfdauer bei dem beschriebenen waagerechten Wurf.

  Tipps

  Die geradlinig, gleichmäßig beschleunigte Bewegung in $y$-Richtung wird durch folgende Formel definiert:
  $y(t) = h - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$

  Die geradlinig gleichförmige Bewegung in $x$-Richtung wird durch folgende Formel definiert:
  $x(t) = v_0 \cdot t$

  Bei der Wurfweite handelt es sich um die Strecke, die der Wurfkörper in der Zeit $t_{max}$ in $x$-Richtung zurücklegt.

  Bei der Lösung musst du die Einheit $\text{cm}$ in $\text{m}$ umwandeln. Dabei gilt:

  $100\,\text{cm} = 1\,\text{m}$

  Um von $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ umzurechnen, musst du durch $3,6$ teilen.

  Lösung

  Wir können den waagerechten Wurf durch zwei Bewegungsgleichungen beschreiben:

  Die geradlinig, gleichmäßig beschleunigte Bewegung in $y$-Richtung wird durch folgende Formel definiert:

  $y(t) = h - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$

  Die geradlinig gleichförmige Bewegung in $x$-Richtung wird durch folgende Formel definiert:

  $x(t) = v_0 \cdot t$

  $\,$

  Wir betrachten nun die Wurfdauer $t_{max}$:

  Der Wurfkörper wird sich genau so lange bewegen, bis er auf dem Boden aufkommt. Dann gilt: $y=0$. Wir schreiben also:

  $y(t_{max}) = 0$

  Mit Hilfe der Bewegungsgleichung in $y$-Richtung ergibt sich also:

  $h - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t_{max} ^2 = 0$

  Wir lösen diese Gleichung nach $t_{max} $ auf und erhalten:

  $t_{max} = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$

  Wir können nun die gegebenen Werte in die Formel einsetzen und erhalten:

  $t_{max} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 80\,\text{cm}}{9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 0{,}8\,\text{m}}{9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} \approx 0{,}4\,\text{s}$

  Antwort: Die Wurfdauer beträgt also $0{,}4$ Sekunden.

  $\,$

  Wir betrachten nun die Wurfweite $x_{max}$:

  Dabei handelt es sich um die Strecke, die der Wurfkörper in der Zeit $t_{max}$ in $x$-Richtung zurücklegt. Also:

  $x_{max}= v_0 \cdot t_{max} = v_0 \cdot \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$

  Wir können nun die gegebenen Werte in die Formel einsetzen und müssen dann noch die Einheit von $v_0$ von $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ umrechnen. Dazu dividieren wir durch $3{,}6$. Somit erhalten wir:

  $x_{max}= 20\,\frac{\text{km}}{\text{h}} \cdot 0{,}4\,\text{s} \approx 5{,}56\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 0{,}4\,\text{s} = 2{,}2\,\text{m}$

  Antwort: Die Wurfweite beträgt also $2{,}2$ Meter.

• Ermittle, in welche Höhe Onkel Klaus seinen Wasserschlauch halten muss, um seinen Enkel zu treffen.

  Tipps

  Da wir in allen Fällen diese Höhe ermitteln müssen, lösen wir Gleichung für die Wurfparabel nach $h$ auf:

  $h = y + \dfrac{g}{2v_0^2} \cdot x^2$

  Um die Füße von Enkel Amir zu treffen, muss das Wasser genau an dem Standpunkt von Enkel Amir auftreffen, es muss also gelten:

  $y=0\,\text{m}$ und $x=4\,\text{m}$

  Um den Bauchnabel von Enkel Amir zu treffen, muss das Wasser an dem Standpunkt von Enkel Amir auf einer Höhe von $72\,\text{cm}$ sein, es muss also gelten:

  $y=0,72\,\text{m}$ und $x=4\,\text{m}$

  Lösung

  Das Wasser aus Klaus' Wasserschlauch bewegt sich in der Form einer Wurfparabel. Um die Aufgabe zu lösen, müssen wir die Formel für die Wurfparabel kennen.

  Da es sich beim waagerechten Wurf um eine zusammengesetzte Bewegung handelt, müssen wir zwei Bewegungsgleichungen kombinieren:

  • $y$-Richtung: geradlinig, gleichmäßig beschleunigte Bewegung
  • $x$-Richtung: geradlinig gleichförmige Bewegung

  $\,$

  Für die geradlinig, gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt:

  $y(t) = h - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$

  Für die geradlinig gleichförmige Bewegung gilt:

  $x(t) = v_0 \cdot t$

  Um die Gleichung für die Wurfparabel zu erhalten, lösen wir die zweite Gleichung nach $t$ auf:

  $t = \dfrac{x}{v_0}$

  und setzen dies in die erste Gleichung ein:

  $y = h - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot \left(\dfrac{x}{v_0}\right)^2$

  zusammengefasst ergibt sich damit die quadratische Gleichung:

  $y = - \dfrac{g}{2v_0^2} \cdot x^2 + h$

  Dabei ist $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit, $g$ ist die Fallbeschleunigung und $h$ ist die Abwurfhöhe, bzw. in unserem Fall die Höhe, in der Onkel Klaus den Wasserschlauch hält.

  Da wir in allen Fällen diese Höhe ermitteln müssen, lösen wir die Gleichung nach $h$ auf:

  $h = y + \dfrac{g}{2v_0^2} \cdot x^2$

  
  

  Die Füße:
  Um die Füße von Enkel Amir zu treffen, muss das Wasser genau an dem Standpunkt von Enkel Amir auftreffen, es muss also gelten:

  $y=0\,\text{m}$ und $x=4\,\text{m}$

  Wir setzen ein und erhalten:

  $h = 0 + \dfrac{9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{2 \cdot (9\,\frac{\text{m}}{\text{s}})^2} \cdot (4\,\text{m})^2 \approx 0{,}97\,\text{m} $

  Um Enkel Amir an den Füßen nass zu spritzen, muss Onkel Klaus den Wasserschlauch in einer Höhe von $0{,}97$ Meter halten.

  
  

  Der Bauchnabel:
  Um den Bauchnabel von Enkel Amir zu treffen, muss das Wasser an dem Standpunkt von Enkel Amir auf einer Höhe von $72\,\text{cm}$ sein, es muss also gelten:

  $y=0{,}72\,\text{m}$ und $x=4\,\text{m}$

  Wir setzen ein und erhalten:

  $h = 0{,}72\,\text{m} + \dfrac{9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{2 \cdot (9\,\frac{\text{m}}{\text{s}})^2} \cdot (4\,\text{m})^2 \approx 1{,}69\,\text{m} $

  Um Enkel Amir am Bauchnabel nass zu spritzen, muss Onkel Klaus den Wasserschlauch in einer Höhe von $1{,}69$ Meter halten.

  
  

  Die Brust:
  Um die Brust von Enkel Amir zu treffen, muss das Wasser an dem Standpunkt von Enkel Amir auf einer Höhe von $83\,\text{cm}$ sein, es muss also gelten:

  $y=0{,}83\,\text{m}$ und $x=4\,\text{m}$

  Wir setzen ein und erhalten:

  $h = 0{,}83\,\text{m} + \dfrac{9{,}81\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{2 \cdot (9\,\frac{\text{m}}{\text{s}})^2} \cdot (4\,\text{m})^2 \approx 1{,}8\,\text{m} $

  Um Enkel Amir an der Brust nass zu spritzen, muss Onkel Klaus den Wasserschlauch in einer Höhe von $1{,}8$ Meter halten.

• Gib an, wie die Wurfparabel eines waagerechten Wurfs aussieht.

  Tipps

  Die Wurfparabel ist keine Gerade.

  Der Begriff Parabel bezeichnet allgemein den Funktionsgraphen einer quadratischen Funktion.

  Nur einer der abgebildeten Graphen ist korrekt.

  Lösung

  Die Bahnkurve des waagerechten Wurfes nennt man auch Wurfparabel. Der Begriff Parabel bezeichnet allgemein den Funktionsgraphen einer quadratischen Funktion. Man kann sich herleiten, dass die Bewegungsgleichung eines waagerechten Wurfes eine quadratische Funktion ist. Somit muss die Bahnkurve parabelförmig sein:

  Beim waagerechten Wurf handelt es sich um eine Überlagerung von zwei Bewegungen: Das Wurfobjekt fliegt geradeaus und fällt gleichzeitig nach unten.

  Wir teilen die zusammengesetzte Bewegung also auf in:

  • $y$-Richtung: geradlinig, gleichmäßig beschleunigte Bewegung (nach unten)
  • $x$-Richtung: geradlinig gleichförmige Bewegung

  Für die geradlinig, gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt:

  $y(t) = h - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$

  Für die geradlinig gleichförmige Bewegung gilt:

  $x(t) = v_0 \cdot t$

  Um die Gleichung für die Wurfparabel zu erhalten, lösen wir die zweite Gleichung nach $t$ auf:

  $t = \dfrac{x}{v_0}$

  und setzen dies in die erste Gleichung ein:

  $y(x) = h - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot \left(\dfrac{x}{v_0}\right)^2$

  zusammengefasst ergibt sich damit die quadratische Gleichung:

  $y(x) = - \dfrac{g}{2v_0^2} \cdot x^2 + h = h - \dfrac{g}{2v_0^2} \cdot x^2 $

  Wir erkennen, dass es sich um eine Parabel handeln muss, welche aufgrund des negativen Vorfaktors nach unten geöffnet ist und um $h$ Einheiten nach oben verschoben ist.

• Beschreibe, wie die Wurfweite und die Wurfdauer von den Größen abhängt.

  Tipps

  Setze jeweils in die Formel für die Wurfweite bzw. für die Wurfdauer die veränderte Größe ein (z. B. $2h$). Vereinfache die Formel dann und schaue, wie sie sich im Vergleich zur Ursprungsformel verändert hat.

  Du kannst auch Beispielrechnungen durchführen. Dafür setzt du für $h$ und $v_0$ konkrete Werte ein und berechnest Wurfweite bzw. -dauer. Danach veränderst du die Werte entsprechend der Vorgabe und berechnest die Wurfweite bzw. -dauer erneut.

  Beispiel:
  Vierfache Abwurfhöhe und konstante Abwurfgeschwindigkeit:
  Anstatt $h$ verwenden wir also $4h$. Die Abwurfgeschwindigkeit $v_0$ bleibt gleich.
  Damit ergibt sich für die neue Wurfdauer $t_{max}'$:
  $t_{max}' = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 4h}{g}}$

  Lösung

  Anhand der Bewegungsgleichungen des waagerechten Wurfs...

  • $y(t) = h - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$
  • $x(t) = v_0 \cdot t$

  ... können wir die Formeln für die Wurfdauer und die Wurfweite ableiten:

  Die Wurfdauer $t_{max}$:
  Der Wurfkörper wird sich genau so lange bewegen, bis er auf dem Boden aufkommt. Dann gilt: $y=0$. Wir schreiben also:

  $y(t_{max}) = 0$

  Mit Hilfe der Bewegungsgleichung in $y$-Richtung ergibt sich also:

  $h - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t_{max} ^2 = 0$

  Wir lösen diese Gleichung nach $t_{max} $ auf und erhalten:

  $t_{max} = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$

  Die Wurfweite $x_{max}$:
  Dabei handelt es sich um die Strecke, die der Wurfkörper in der Zeit $t_{max}$ in $x$-Richtung zurücklegt. Also:

  $x_{max}= v_0 \cdot t_{max} = v_0 \cdot \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$

  Mit Hilfe der beiden Formeln untersuchen wir nun die Abhängigkeiten:

  
  

  Vierfache Abwurfhöhe und konstante Abwurfgeschwindigkeit:
  Anstatt $h$ verwenden wir also $4h$. Die Abwurfgeschwindigkeit $v_0$ bleibt gleich.

  Damit ergibt sich für die neue Wurfdauer $t_{max}'$:

  $t_{max}' = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 4h}{g}} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = 2 \cdot t_{max} $

  Die Wurfdauer verdoppelt sich also.
  $\rightarrow$ Bei vierfacher Abwurfhöhe und konstanter Abwurfgeschwindigkeit verdoppelt sich die Wurfdauer.

  
  

  Gleiche Abwurfhöhe und vierfache Abwurfgeschwindigkeit:
  Anstatt $v_0$ verwenden wir also $4v_0$. Die Abwurfhöhe $h$ bleibt gleich. Da die Wurfdauer unabhängig von der Abwurfgeschwindigkeit ist, verändert sich die Wurfdauer $t_{max}'$ nicht:

  $t_{max}' = t_{max} $

  $\rightarrow$ Bei gleicher Abwurfhöhe und vierfacher Abwurfgeschwindigkeit verändert sich die Wurfdauer nicht.

  
  

  Gleiche Abwurfhöhe und dreifacher Abwurfgeschwindigkeit:
  Anstatt $v_0$ verwenden wir also $3v_0$. Die Abwurfhöhe $h$ bleibt gleich. Für die neue Wurfweite $x_{max}'$ ergibt sich:

  $x_{max}'= 3v_0 \cdot t_{max}' = 3 \cdot v_0 \cdot t_{max}$

  Die Wurfweite verdreifacht sich also.
  $\rightarrow$ Bei gleicher Abwurfhöhe und dreifacher Abwurfgeschwindigkeit verdreifacht sich die Wurfweite.

  
  

  Vierfache Abwurfhöhe und doppelter Abwurfgeschwindigkeit:
  Anstatt $v_0$ verwenden wir also $2v_0$. Die Abwurfhöhe $h$ ändern wir zu $4h$. Für die neue Wurfweite $x_{max}'$ ergibt sich:

  $x_{max}'= 2v_0 \cdot \sqrt{\dfrac{2 \cdot 4h}{g}} =2v_0 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = 2 \cdot v_0 \cdot 2 \cdot t_{max} = 4 \cdot x_{max}$

  Die Wurfweite vervierfacht sich also.
  $\rightarrow$ Bei vierfacher Abwurfhöhe und doppelter Abwurfgeschwindigkeit vervierfacht sich die Wurfweite.